. База для начисления сложных процентов в отличие от простых не остается постоянной – она увеличивается с каждым шагом во времени. Абсолютная сумма начисляемых процентов возрастает, и процесс увеличения суммы долга происходит с ускорением. Наращение по сложным процентам можно представить как последовательное реинвестирование средств, вложенных под простые про центы на один период начисления ( running period ). Присоедине ние начисленных процентов к сумме, которая послужила базой для их начисления, часто называют капитализацией процентов.
Найдем формулу для расчета наращенной суммы при условии, что проценты начисляются и капитализируются один раз в году (годовые проценты). Для этого применяется сложная став ка наращения. Для записи формулы наращения применим те же обозначения, что и в формуле наращения по простым про центам:
P - первоначальный размер долга (ссуды, кредита, капита ла и т.д.),
S - наращенная сумма на конец срока ссуды,
п - срок, число лет наращения,
i - уровень годовой ставки процентов, представленный де сятичной дробью.
Очевидно, что в конце первого года проценты равны величине Р i , а наращенная сумма составит. К конц у второго года она достигнет величины В конце n -го года наращенная сумма будет равна
(4.1)
Процентыза этот же срокв целом таковы:
(4.2)
Часть из них поучена за счет начисления процентов на проценты. Она составляет
Как показано выше, рост по сложным процентам представ ляет собой процесс, соответствующий геометрической прогрессии, первый член которой равен Р , а знаменатель – . Последний член прогрессии равен наращенной сумме в конце срока ссуды.
Величину называют множителем наращения по сложным процентам. Значения этого множителя для целых чисел п приводятся в таблицах сложных процентов. Точность расчета множителя в практических расчетах определяется допустимой степенью округления наращенной суммы (до последней копейки, рубля и т.д.).
Время при наращении по сложной ставке обычно измеряет ся как АСТ/ A СТ.
Как видим, величина множителя наращения зависит от двух параметров - i и п. Следует отметить, что при большом сроке наращения даже небольшое изменение ставки заметно влияет на величину множителя. В свою очередь очень большой срок приводит к устрашающим результатам даже при небольшой процентной ставке.
Формула наращения по сложным процентам получена для годовой процентной ставки и срока, измеряемого в годах. Однако ее можно применять и при других периодах начисле ния. В этих случаях i означает ставку за один период начисления (месяц, квартал и т.д.), а n – число таких периодов. На пример, если i –ставка за полугодие, то п – число полугодий и т.д.
Формулы (4.1) - (4.3) предполагают, что проценты на про центы начисляются по той же ставке, что и при начислении на основную сумму долга. Усложним условия начислений процен тов. Пусть проценты на основной долг начисляются по ставке i а проценты на проценты – по ставке В этом случае
Ряд в квадратных скобках представляет собой геометриче скую прогрессию с первым членом, равным 1, и знаменателем. В итоге имеем
· Пример 4.1
2. Начисление процентов в смежных календарных периодах. Вы ше при начислении процентов не принималось во внимание расположение срока начисления процентов относительно календарных периодов. Вместе с тем, часто даты начала и окончания ссуды находятся в двух периодах. Ясно, что начисленные за весь срок проценты не могут быть отнесены только к послед нему периоду. В бухгалтерском учете, при налогообложении, наконец, в анализе финансовой деятельности предприятия воз никает задача распределения начисленных процентов по периодам.
Общий срок ссуды делится на два периода n 1 и n 2 . Соответственно ,
где
· Пример 4.2
3. Переменные ставки. Формула предполагает постоянную ставку на протяжении всего срока начисления процентов. Неустойчивость кредитно-денежного рынка заставляет модернизировать “классическую” схему, например, с помощью применения плавающих ставок ( floating rate ). Естественно, что расчет на перспективу по таким ставкам весьма условен. Иное дело - расчет постфактум. В этом случае, а также тогда, когда измене ния размеров ставок фиксируются в контракте, общий множитель наращения определяется как произведение частных, т.е.
(4.5)
где - последовательные значения ставок; - периоды, в течение которых “работают” соответствующие ставки.
· Пример 4.3
4. Начисление процентов при дробном числе лет. Часто срок в го дах для начисления процентов не является целым числом. В правилах ряда коммерческих банков для некоторых операций проценты начисляются только за целое число лет или других периодов начисления. Дробная часть периода отбрасывается. В большинстве же случаев учитывается полный срок. При этом применяют два метода. Согласно первому, назовем его общим, расчет ведется по формуле:
Второй, сме шанный, метод предполагает начисление процентов за целое число лет по формуле сложных процентов и за дробную часть срока по формуле простых процентов:
где – срок ссуды, а - целое число лет, b - дробная часть года.
Аналогичный метод применяется и в случаях, когда перио дом начисления является полугодие, квартал или месяц.
При выборе
метода расчета следует иметь в виду, что мно
житель наращения по смешанному методу
оказывается несколько больше, чем по общему, так как для п
<
1 справедли
во соотношение 
Наибольшая разница наблю дается при b = 1/2.
· Пример 4.4
5. Сравнение роста по сложным и простым процентам. Пусть временная база для начисленияодна и та же, уровень процентных ставок совпадает, тогда:
1) для срока меньше года простые проценты больше сложных
2) для срока больше года
3) для срока 1 год множители наращения равны друг другу
Используя коэффициент наращения по простыми сложным процентам можно определить время, необходимое для увеличенияпервоначальной суммы в n раз. Для этого необходимо, что быкоэффициенты наращениябыли равны величине n :
1) для простых процентов
2) для сложных процентов
Формулы дляудвоениякапитала имеют вид:
Получатели поступлений оценивают свой доход суммарной величиной за полный срок действия платежа, разумеется, с учетом временной неравноценности денег.
Наращенная сумма – сумма всех платежей с начисленными на них процентами к концу срока ренты. Это может быть обобщенная сумма задолженности, итоговый объем инвестиций и т.п.
Логика финансовой операции наращения финансовой ренты
Наращенные отдельные платежи представляют собой члены геометрической прогрессии с первым членом равным R и множителем равным (1 + i ).
Рассмотрим определение наращенной суммы на примере наиболее простого случая, – годовой постоянной обычной ренты:
где FVA – наращенная сумма ренты;
R – размер члена ренты, т.е. размер очередного платежа;
i – годовая процентная ставка, по которой на платежи начисляются сложные проценты;
n – срок ренты в годах,
s n;i – коэффициент наращения ренты.
Пример. На счет в банке в течении пяти лет в конце каждого года будут вноситься суммы в размере 500 руб., на которые будут начисляться проценты по ставке 30%. Определить сумму процентов, которую банк выплатит владельцу счета.
Решение:
Поскольку период ренты равен одному году, то это годовая рента; проценты начисляются один раз в год; взносы будут в конце периода ренты, постнумерандо, значит это обычная рента; сумма платежа постоянна на протяжении всего срока ренты, что характерно для постоянной ренты; число членов ренты пять, т.е. конечно, следовательно, ограниченная рента; а выплаты носят безусловный характер, таким образом, это верная рента.
Сумма всех взносов с начисленными процентами будет равна:
Расчет современной стоимости постоянной годовой ренты ПОСТНУМЕРАНДО при начислении % один раз в год.
Помимо наращенной суммы обобщающей характеристикой потока платежей является современная величина. Современная (текущая) величина потока платежей (капитализированная или приведенная величина) – это сумма платежей, дисконтированных на момент начала ренты по ставке начисляемых сложных процентов. Это важнейшая характеристика финансового анализа, т.к. является основой для измерения эффективности различных финансово-кредитных операций, сравнения условий контрактов и т.п. Данная характеристика показывает, какую сумму следовало бы иметь первоначально, чтобы, разбив ее на равные взносы, на которые начислялись бы установленные проценты в течение всего срока, можно было бы получить указанную наращенную сумму.
Логика финансовой операции определения современной величины потока платежей
В этом случае реализуется схема дисконтирования: все элементы с помощью дисконтных множителей приведены к одному моменту времени, что позволяет их суммировать.
В простейшем случае, для годовой обычной ренты с выплатами в конце каждого года, когда момент оценки совпадает с началом ренты, современная величина финансовой ренты равна:
Дробь в формуле – коэффициент приведения ренты (a n;i ), значения которого табулированы для широкого круга значений, поскольку зависят от ставки процентов (i ) и от числа лет (n ) (Приложение 5).
Пример. Определить по данным примера современную величину ренты.
Решение:
Современная величина ренты составит:
Таким образом, все производимые в будущем платежи оцениваются в настоящий момент в размере 1"217,78 руб.
16. Расчет наращенной суммы постоянной p -срочной ренты ПОСТНУМЕРАНДО при начислении % m раз в год (p = m )
Бывают случаи, когда рентные платежи вносятся несколько раз в год равными суммами (срочная рента), а начисление процентов производится только раз в году. Тогда наращенная величина ренты будет определяться по формуле:
Также нередки случаи, когда рентные платежи вносятся несколько раз в году и начисление процентов также происходит несколько раз в год, но число рентных платежей не равно числу периодов начисления процентов, т.е. p ≠ m . Тогда формула по которой можно определить наращенную величину финансовой ренты примет вид:
На практике большее распространение получил поток постнумерандо, поскольку согласно общим принципам учета принято подводить итоги и оценивать финансовый результат операции или иного действия по окончании очередного отчетного периода. Что же касается поступления денежных средств в счет оплаты, то на практике они чаще всего распределены во времени неравномерно и поэтому для удобства все поступления относят к концу периода, что позволяет использовать формализованные алгоритмы оценки.
Поток пренумерандо имеет значение при анализе различных схем накопления денежных средств для последующего их инвестирования.
Рента пренумерандо отличается от обычной ренты числом периодов начисления процентов. Поэтому наращенная сумма ренты пренумерандо будет больше наращенной суммы обычной ренты в (1 + i ) раз.
Для годовой ренты пренумерандо с начислением процентом один раз в год формула примет вид:
Для годовой ренты пренумерандо с начислением процентов несколько раз в год:
Расчет современной стоимости постоянной p-срочной ренты ПОСТНУМЕРАНДО при начислении % m раз в год (p=m).
Рассмотрим расчет современной величины ренты для различных ее видов:
годовая рента с начислением процентов несколько раз в год:
срочная рента при начислении процентов один раз в год:
срочная рента с неоднократным начислением процентов в течение года, при условии, что число выплат не равно числе начислений, т.е. p ≠ m :
17. Определение размера очередного платежа постоянной финансовой ренты ПОСТНУМЕРАНДО (p = m =1)
Последовательные платежи в виде постоянной обычной годовой ренты определяются основными параметрами:
R – размер платежа;
n – срок ренты в годах;
i – годовая ставка процентов.
Однако при разработке условий финансовой операции могут возникать ситуации, когда заданной величиной является одна из двух обобщающих характеристик и неполный набор параметров ренты. В таких случаях находят недостающий параметр.
При определении члена ренты возможны два варианта, зависящие от того, какая величина является исходной:
а) наращенная сумма . Если сумма долга определена на какой-либо момент в будущем (FVA ), тогда величину последующих взносов в течение n лет при начислении на них процентов по ставке i можно определить по формуле:
Пример. Для покупки автомобиля через 5 лет потребуется 50 тыс. руб. Определите размер ежегодных взносов, вносимых в конце каждого года в банк, который начисляет проценты по ставке 40%.
Решение:
В данном случае известна наращенная величина постоянной финансовой ренты, поэтому размер ежегодных взносов будет равен:
Таким образом, чтобы накопить на счете необходимую сумму для покупки автомобиля следует в конце каждого года в течении пяти лет откладывать 4"568 руб.
б) современная величина финансовой ренты, тогда, исходя из ставки процента и срока ренты, разовый платеж находится по формуле:
Пример. Сумма 10 тыс. долларов предоставлена в долг на 5 лет под 8% годовых. Определить ежегодную сумму погашения долга.
Решение:
Известна современная величина долга, отсюда:
Таким образом, ежегодно необходимо будет возвращать сумму 2"504,56 руб.
Можно произвести проверку: сумма долга с начисленными на нее процентами к концу пятого года будет составлять:
FV = 10"000 (1 + 0,08) 5 = 14"693,28 руб.
Наращенная сумма для потока платежей размером 2"504,56 руб. составит:
Следовательно, величина члена финансовой ренты определена верно. Незначительное расхождение вызвано округлением расчетов.
Современная величина ренты пренумерандо рассчитывается путем умножения современной величины обычной ренты на соответствующий множитель наращения.
ВАРИАНТ 9
РЕШЕНИЕ.
n - срок ссуды.
I = 2000*0,5*0,3=300 руб.
FV=2000+300=2300 руб.
РЕШЕНИЕ.
Множитель наращения: .
РЕШЕНИЕ.
S = P (1 + n∙i),
РЕШЕНИЕ.
РЕШЕНИЕ.
Наращенная сумма после 4 лет:
РЕШЕНИЕ.
S=2000*(1+0,3*4)= 4400 руб.
Ответ: 4400 руб.
РЕШЕНИЕ.
РЕШЕНИЕ .
Ответ: 2109 руб.
РЕШЕНИЕ.
Рассчитаем наращенную сумму:
S=2000*1,756=3512 руб.
Ответ: 3512 руб.
РЕШЕНИЕ.
При установлении переменной процентной ставки наращенная сумма определяется:
Выражение в скобках и представляет собой множитель наращения. Рассчитаем его:
Рассчитаем наращенную сумму:
S=2000*1,9=3800 руб.
Ответ: 3800 руб.
РЕШЕНИЕ.
Рассчитаем дисконтированный множитель:
Рассчитаем дисконт по точным процентам с точным числом дней ссуды:
D=200000*1/(1+0,3)*120/365=50580руб.
Рассчитаем дисконт по обыкновенным процентам с точным числом дней ссуды:
D=200000-200000*(1+0,3*120/365)= 19726 руб.
Ответ: 50580 руб., 19726 руб.
Задача 3.2.2. Определить сумму, которую необходимо положить в банк, чтобы при начислении на нее процентов по сложной процентной ставке – 30% годовых, получить через 3 года наращенную сумму в размере 200000 р., а также сумму дисконта.
РЕШЕНИЕ.
Дисконтирование по сложной учетной ставке осуществляется по формуле:
где d c - сложная годовая учетная ставка.
Дисконт в этом случае равен
Р=200000*(1-0,3) 3 =68600 руб.
D=200000-68600=131400 руб.
Ответ: 131400 руб.
Задача 3.2.3. Вексель выдан на 200000 р. с уплатой 20.09. Владелец векселя учел его в банке 120 дней по учетной процентной ставке – 30 %. Определить сумму, которую получит держатель векселя, если начисление процентов осуществляется по точным процентам с точным числом дней ссуды, обыкновенным процентам с точным числом дней ссуды, обыкновенным процентам с приближенным числом дней ссуды, а также суммы дисконта.
РЕШЕНИЕ.
Учетная ставка рассчитывается отношением наращения (F-P) к ожидаемой в будущем к получению, или наращенной, величине F.
Определим сумму, которую получит держатель векселя по формулам:
Где P-
F
n-
d- простаяучетная ставка;
t -
Т- количество дней в году.
а) если начисление процентов осуществляется по точным процентам с точным числом дней ссуды:
F=200000/(1-120/365*0,3)=221884 руб.
Сумма дисконта:
D=221884-200000=21884 руб.
б) если проценты начисляются обыкновенные с приближенным числом дней ссуды:
F=200000/(1-120/360*0,3)= 222222 руб.
Сумма дисконта:
D=222222-200000=22222 руб.
Ответ: 221884 руб., 21884 руб., 222222руб.,22222 руб.
Задача 3.2.4. Предприятие предоставило покупателю отсрочку платежа сроком на 3 года и учло платежное обязательство на сумму 200000 р. в банке по учетной ставке 30 % годовых. Определить сумму, которую получит на руки держатель платежного обязательства.
РЕШЕНИЕ.
Рассчитаем сумму, которую получит держатель платежного обязательства по формуле:
Где P- вложенная сумма (сумма, которую получает владелец векселя при его учете);
F – наращенная сумма (номинальная стоимость векселя);
n- количество периодов продолжительности финансовой операции;
d- простаяучетная ставка;
t - продолжительность финансовой операции в днях;
Т- количество дней в году.
Р=200000*(1-0,3*3*365/365)=20000 руб.
Ответ: 20000 руб.
РЕШЕНИЕ.
При выборе вида вклада, на порядок начисления процентов стоит обращать внимание. Когда сумма вклада и срок размещения значительные, а банком применяется формула простых процентов, это приводит к занижению суммы процентного дохода вкладчика. Формула простых процентов по вкладам выглядит так:
Где S - сумма денежных средств, причитающихся к возврату вкладчику по окончании срока депозита. Она состоит из первоначальной суммы размещенных денежных средств, плюс начисленные проценты;
t – количество дней начисления процентов по привлеченному вкладу;
K – количество дней в календарном году (365 или 366);
P – первоначальная сумма привлеченных в депозит денежных средств.
Рассчитаем количество дней начисления процентов:
50000=2000+(2000*0,3t)
Ответ:80 дней.
Задача 3.3.2. Предприятие планирует получить наращенную сумму в размере 50000 р. На какой срок необходимо вложить первоначальную сумму 2000 р. под 30 % годовых, чтобы получить требуемую наращенную сумму.
РЕШЕНИЕ.
Формула для расчета наращенной суммы вклада по методу простых процентов имеет вид:
К н =К о *(1+р*n),
Где К н -наращенная сумма по вкладу;
К о -первоначальная сумма вклада;
р-проценты по вкладу;
n- количество лет начисления процентов.
Рассчитаем количество лет начисления процентов:
50000=2000*(1+0,3*n)
Ответ: 80 дней
Задача 3.3.3. Первоначальная сумма в размере 2000 р. будет вложена на депозитный счет под 30 % годовых. Определить через какой срок наращенная стоимость этой первоначальной суммы составит 50000 р.
РЕШЕНИЕ.
Наращенная сумма рассчитывается используя формулу:
где Р – сумма вклада;
i – процентная ставка;
d – количество дней.
Рассчитаем срок вклада:
50000=2000*0,3*d
Ответ: 83 дня.
Задача 3.3.4. Предприятие планирует получить наращенную сумму в размере 50000 р. На какой срок необходимо вложить первоначальную сумму 2000 р. под 30 % годовых, чтобы получить требуемую наращенную сумму.
РЕШЕНИЕ.
Определим доход:
I= 50000 – 2000=48000руб.
S - наращенный капитал
P - первоначальный капитал
Теперь определим срок вклада:
d=100*48000/(30*2000)=80 дней
Ответ: 80 дней.
3.4. Определение наращенной и дисконтированной стоимости финансовой ренты (аннуитета).
Задача 3.4.1. Предприятие с целью создания страхового фонда на счет в банке вносит в конце каждого года платеж в размере 2000 р. в течение 4 лет. Определить наращенную сумму на счете через 4 года, если годовая ссудная процентная ставка – 30 %.
РЕШЕНИЕ.
Расчет наращенной суммы выполним по формуле:
F = P*(1 + n * d)
F =2000*(1+0,3*4*365/365) =4400 руб.
Ответ: 4400 руб.
Задача 3.4.2. Предприятие с целью создания страхового фонда на счет в банке вносит в начале каждого года 2000 р. в течение 4 лет. Определить наращенную сумму на счете через 4года, если годовая ссудная процентная ставка – 30 %.
РЕШЕНИЕ.
i – годовая процентная ставка;
S = 2000* (1 + 0,3 * 3*365/365) = 3800 руб.
Ответ: 3800 руб.
Задача 3.4.3.Страховая компания заключает договор с предприятием на 4 года. Страховые взносы предприятия в размере 2000 р. страховая компания помещает в банк под 30% годовых с полугодовой капитализацией. Определить сумму, которую получит страховая компания.
РЕШЕНИЕ.
Вычисления произведем по следующей формуле:
где S – наращенная стоимость кредита;
P – настоящая стоимость кредита;
i – годовая процентная ставка;
n – период начисления процентов в годах.
S = 2000* (1 + 0,3 * 0,5*4*365/365) = 3200 руб.
Ответ: 3200 руб.
Задача 3.4.4. Предприятия в течение трех лет вносит в банк в конце каждого года платеж в размере 2000 р. Проценты на вклад начисляются по сложной годовой процентной ставке равной 30 %. Определить дисконтированную стоимость аннуитета.
РЕШЕНИЕ.
S = P* 
где
n – число лет.
Рассчитаем наращенную сумму:
S=2000*(1/(1-0,3) 3)= 5831 руб.
Дисконтированная сумма равна:
D=5831-2000=3831 руб.
Ответ: 3831 руб.
Задача 3.4.5. Предприятия в течение трех лет вносит в банк в начале каждого года платеж в размере 2000 р. Проценты на вклад начисляются по сложной годовой процентной ставке равной 30 %. Определить дисконтированную стоимость аннуитета.
РЕШЕНИЕ.
Таким образом, в общем виде формула наращенной суммы может быть записана в виде:
S = P*
где
d – учетная ставка сложных процентов;
n – число лет.
Рассчитаем наращенную сумму:
S=2000*(1/(1-0,3) 2)= 4082 руб.
Дисконтированная сумма равна:
D=4082-2000=2082 руб.
Ответ: 2082 руб.
РЕШЕНИЕ.
Рассмотрим планирование фонда с постоянными срочными взносами. Предположим, что создание погасительного фонда производится путем внесения в банк ежегодных взносов R, на которые начисляются проценты по ставке i. Одновременно происходит начисление процентов на величину долга по ставке g. При начислении на величину долга простых процентов срочная уплата будет равна:
где -срочная уплата в период t;
D- величина долга.
При начислении на величину долга сложных процентов срочная уплата рассчитывается по формуле:
где - процентный платеж, исчисленный по сложным процентам.
Величину для расчетного периода вычисляют по формуле:
g - процентная ставка, начисляемая на основной долг.
Подставив значение получим:
200000=(1+0,26) 2 *0,26/R
200000=1,58*0,26/R
0,26/R=126582 руб.
Ответ: 32911 руб.
Задача 3.5.6. Определить размер ежегодного платежа, вносимого в начале года в течение трех лет, для формирования страхового фонда в размере 200000 р., если размер сложной процентной ставки – 30 %.
РЕШЕНИЕ.
200000=(1+0,3) 3 *0,3/R
200000=2,197*0,3/R
R=131820 руб.
Ответ: 131820 руб.
Задача 3.5.7. Кредит взят на сумму 2000 р. сроком на 4 года под 30 % годовых. Определить размер ежегодных погасительных платежей, осуществляемых в конце года.
РЕШЕНИЕ.
R=Ai/(1-1/(1+i) n)
R =2000*0,3/(1-1/(1+0,3) 4)=924 руб.
Ответ: 924 руб.
Задача 3.5.8. Кредит взят на сумму 2000 р. сроком на 4 года под 30 % годовых. Определить размер ежегодных погасительных платежей, осуществляемых в начале года.
РЕШЕНИЕ.
Размер ежегодных погасительных платежей:
R=Ai/(1-1/(1+i) n)
R =2000*0,3/(1-1/(1+0,3) 3)=1101 руб.
Ответ: 1101 руб.
Задача 3.5.9. Предприятие ежегодно в конце года вкладывает 20000 р. для формирования инвестиционного фонда. Процентная ставка – 30 % годовых. Определить срок финансовой ренты, по окончании которой наращенная сумма составит 1000000 р.
РЕШЕНИЕ.
1000000=20000*(1+0,3*n)
Ответ: 38 дней.
Задача 3.5.10 Предприятие ежегодно в начале года вкладывает 20000 р. для формирования инвестиционного фонда. Ссудная процентная ставка – 30 % годовых. Определить срок финансовой ренты, по окончании которой наращенная сумма составит 1000000 р.
РЕШЕНИЕ.
1000000=20000*(1+0,3*(n-1))
Ответ: 37дней.
Задача 3.5.11. Предприятие планирует взять кредит в размере 1000000 р. под годовую процентную ставку равную 30 %. Ежегодный платеж в конце года составит 20000 р. Определить срок финансовой ренты, по окончании которой будет возвращена вся сумма кредита.
РЕШЕНИЕ.
Поскольку проценты начисляются один раз в год; взносы будут в конце периода ренты, постнумерандо- это обычная рента. Сумма всех взносов с начисленными процентами будет равна:
FVA=R*((1+i*n)-1)/i
1000000=20000*((1+0,3*n)-1)/0,3
Ответ: 50 дней.
ВАРИАНТ 9
Определение наращенной суммы по простым и сложным процентам с использование различных схем начисления процентов.
Задача 3.1.1. Определить наращенную сумму, если первоначальная сумма в размере 2000 р. была помещена на депозитный счет на период 0,5 лет под 30 % годовых. Наращение осуществляется по простой ссудной процентной ставке.
РЕШЕНИЕ.
К наращению по простым процентам обычно прибегают при выдаче краткосрочных ссуд (на срок до 1 года) или в случаях, когда проценты не присоединяются к сумме долга, а периодически выплачиваются. Для записи формулы наращения простых процентов (simple interest) примем обозначения:
I - проценты за весь срок ссуды;
РV - первоначальная сумма долга;
FV - наращенная сумма, т. е. сумма в конце срока;
i - ставка наращения процентов (десятичная дробь);
n - срок ссуды.
Если срок измеряется в годах (как это обычно и бывает), то i означает годовую процентную ставку.
Соответственно каждый год приносит проценты в сумме: Pv×i.
Начисленные за весь срок проценты составят: I = PV×ni.
I = 2000*0,5*0,3=300 руб.
Наращенная сумма, таким образом, находится по формуле:
FV = РV + I = РV + PV×ni = РV(1 + ni).
FV=2000+300=2300 руб.
Ответ: Наращенная сумма составляет 2300 руб.
Задача 3.1.2. Определить наращенную сумму, которую необходимо проставить в бланке векселя, если ссуда выдается на 0,5 лет в размере 2000 р. Наращение осуществляется по простым процентам по учетной ставке ‒ 30 % годовых.
РЕШЕНИЕ.
Простая учетная ставка иногда применяется и при расчете наращенной суммы. Например, при определении суммы, которую надо проставить в векселе, если задана текущая сумма долга:
Множитель наращения: .
S=2000*1/(1-0,5*0,3)= 2353 руб.
Ответ: Наращенную сумму, которую необходимо проставить в бланке векселя равна 2353 руб.
Задача 3.1.3. Кредит в размере 2000 р. выдан с 22.03 по 14.11. включительно под 30% годовых. Год не високосный. Определить сумму, которую необходимо будет вернуть банку, используя точные проценты с точным числом дней ссуды, обыкновенные проценты с точным числом дней ссуды, обыкновенные проценты с приближенным числом дней ссуды.
РЕШЕНИЕ.
В нашем случае для годовой ставки i простых процентов наращенная сумма S:
S = P (1 + n∙i),
где 1 + n∙i - множитель наращения, а годовая ставка i простых процентов (rate of interest).
В нашем случае срок финансового соглашения n измеряется не в годах, а в днях t, то в (1) в качестве n следует взять, где K - так называемая временная база, т.е. число дней в году, K =360,365(366).
Если временная база K = 360 дней (12 месяцев по 30 дней), то говорят, что в формуле используют обыкновенные, или коммерческие проценты.
а) точные проценты с точным числом дней ссуды. Этот вариант
(K = 365(366)) дает самые точные результаты.
S = 2000*(1+0,3*238/365) =2391 руб.
б) обыкновенные проценты с точным числом дней ссуды. Этот метод (K = 360), иногда называемый банковским, распространен в ссудных операциях коммерческих банков. Он дает несколько больший результат, чем предыдущий метод.
S = 2000*(1+0,3*238/360) = 2397 руб.
в) обыкновенные проценты с приближенным числом дней ссуды:
S = 2000*(1+0,3*235/360) =2392 руб.
Ответ: 2391 руб., 2397 руб., 2393 руб.
Задача 3.1.4. Кредит в размере 2000 р. выдан 22.03 по 14.11 включительно под 30% годовых. Год не високосный. Определить сумму, которую необходимо будет вернуть банку, используя точные проценты с точным числом дней ссуды, обыкновенные проценты с точным числом дней ссуды, обыкновенные проценты с приближенным числом дней ссуды.
РЕШЕНИЕ.
При расчете обычно полагают, что К = 360 (12 месяцев по 30 дней) или К = 365, 366 дней. Если К = 360 дней, проценты называются обыкновенными. В этом случае формула примет вид:
При использовании действительной продолжительности года 365(366) получают точные проценты и в этом случае формула примет вид:
а) Точные проценты с точным числом дней ссуды:
S=2000*(1+238/365*0,3)= 2391 руб.
б) Обыкновенные проценты с точным числом дней ссуды:
S=2000*(1+238/360*0,3)=2397 руб.
в) Обыкновенные проценты с приближенным числом дней ссуды:
S=2000*(1+235/360*0,3)=2392 руб.
Ответ: 23945 руб., 2397 руб., 2393 руб.
Задача 3.1.5. Первоначальная сумма в размере 2000 р. была положена в банк на 4 года под 30 % годовых. Определить наращенную сумму по сложным процентам через 4 года.
РЕШЕНИЕ.
Наращенная сумма после 4 лет:
S = 2000*(1 + 0,3) 4 = 5712 руб.
Ответ: Наращенная сумма по сложным процентам составит 5712 руб.
Задача 3.1.6. Первоначальная сумма в размере 2000 р. была выдана в долг на 4 года. Определить наращенную сумму, которая должна быть возвращена через 4. года, если начисление процентов осуществляет по учетной ставке 30 % годовых.
РЕШЕНИЕ.
Наращенная сумма, которая должна быть возвращена через 4 года:
S=2000*(1+0,3*4)= 4400 руб.
Ответ: 4400 руб.
Задача 3.1.7. Первоначальная сумма в размере 2000 р. была положена на депозитный вклад 1 апреля на квартал под 30% годовых. Согласно условиям контракта предусмотрено ежедневное начисление простых процентов. Определить наращенную сумму, используя начисление точных процентов с точным числом дней ссуды, обыкновенных процентов с точным числом дней ссуды, обыкновенных процентов с приближенным числом дней ссуды.
РЕШЕНИЕ.
Простые проценты считаются по такой формуле:
а) расчет наращенной суммы по точным процентам с точным числом дней ссуды:
В=2000*(1+0,3*90/365)=2148 руб.
б) Расчет обыкновенных процентов с точным числом дней ссуды:
В=2000*(1+0,3*90/360)=2150 руб.
в) расчет обыкновенных процентов с приближенным числом дней ссуды:
В=2000*(1+0,3*80/360)=2133 руб.
Ответ: 2148 руб., 2150 руб., 2133 руб.
Задача 3.1.8. Первоначальная сумма в размере 2000 р. была положена в банк на 4 года под 30 % годовых. Согласно контракту предусмотрено ежедневное начисление сложных процентов. Определить наращенную сумму через 4 года.
РЕШЕНИЕ .
Расчет сложных процентов производится по следующей формуле:
Для вкладов со сложным процентом важной часть является периодичность начисления процентов.
В=2000*(1+0,3/90) 16 =2109 руб.
Ответ: 2109 руб.
Задача 3.1.9. Контракт предусматривает следующий порядок начисления процентов: первый квартал ‒ 30 % годовых; в каждом следующем квартале ставка повышается на 0,4%. Определить наращенную сумму, если контракт подписан на одни год, а первоначальная сумма составляет 2000 р.
РЕШЕНИЕ.
При установлении переменной процентной ставки наращенная сумма определяется:
Выражение в скобках и представляет собой множитель наращения. Рассчитаем его:
1 + 1*0,3 + 0,4*0,34 + 0,4*0,38 + 0,4*0,42 = 1,756 раз
Таким образом, по данному контракту наращенная сумма будет в 1,756 раза больше первоначальной.
Рассчитаем наращенную сумму:
S=2000*1,756=3512 руб.
Ответ: 3512 руб.
Задача 3.1.10. Контракт подписан на 4 года и предусматривает следующий порядок начисления сложных процентов: 1 год ‒ 30 % годовых; в каждом последующем полугодии процентная ставка увеличивается на 0,05%. Определить наращенную сумму, если первоначальная сумма составляет 2000 р.
РЕШЕНИЕ.
При установлении переменной процентной ставки наращенная сумма определяется:
Выражение в скобках и представляет собой множитель наращения. Рассчитаем его:
1 + 1*0,3 + 0,5*0,35 + 0,5*0,4 + 0,5*0,45 =1,9 раз
Таким образом, по данному контракту наращенная сумма будет в 1,9 раза больше первоначальной.
Рассчитаем наращенную сумму:
S=2000*1,9=3800 руб.
Под наращенной суммой долга (ссуды, депозита и т.д.) понимают первоначальную сумму с начисленными процентами к концу срока. Наращенная сумма определяется умножением первоначальной суммы на множитель наращения, который показывает, во сколько раз наращенная сумма больше первоначальной:
В кредитных соглашениях иногда предусматриваются изменяющиеся во времени процентные ставки - «плавающие» ставки. Если это простые ставки, то наращенная на конец срока сумма определяется из выражения
Пример. Кредитный договор предусматривает следующий порядок начисления процентов: первый год - ставка 16%, в каждом последующем полугодии ставка повышается на 1%. Необходимо определить множитель наращения за 2,5 года:
В практических задачах иногда возникает необходимость в решении вторичных задач - определении срока наращения или размера процентной ставки в том или ином ее виде при всех прочих заданных условиях.
Продолжительность срока наращения в годах или днях может быть определена из решения уравнения:
Пример. Определим продолжительность займа в днях, для того чтобы долг, равный 1 млн руб., вырос до 1,2 млн руб., при условии, что начисляются простые проценты по ставке 25% годовых (К = 365 дней).
Аналогично может быть определена величина процентной ставки. Такая необходимость в расчете процентной ставки возникает при определении доходности заемной операции и при сравнении контрактов по их доходности в случаях, когда процентные ставки в явном виде не указаны. Аналогично первому случаю получаем
Пример. В договоре займа предусматривается погашение обя-зательства в сумме 110 млн руб. через 120 дней. Первоначальная сумма долга - 90 млн руб. Необходимо определить доходность заемной операции для заимодавца в виде годовой ставки процента. Получаем
В случае использования «плавающих» ставок сложных процентов наращенная сумма рассчитывается по формуле
Поскольку множитель наращения при простых и сложных ставках различен, то наблюдается следующая закономерность.
Если срок наращения меньше года, то
Проценты могут начисляться (капитализироваться) не один, а несколько раз в году - по полугодиям, кварталам, месяцам и
Графически такая ситуация показана на рис.
т.д. Поскольку в контрактах, как правило, оговаривается годовая ставка, то формула наращения по сложным процентам имеет вид:
Пример. Первоначальная сумма в 1 млн руб. помещается на депозит на 5 лет под сложные проценты при годовой ставке 20%. Проценты начисляются поквартально. Рассчитаем наращенную сумму:
Очевидно, чем чаще начисляются проценты, тем быстрее идет процесс наращения.
При разработке условий кредитных операций с использованием сложных процентов часто приходится решать обратные задачи - расчета продолжительности займа или кредита (срока наращения) либо процентной ставки.
При наращении по сложной годовой ставке и по номинальной ставке получаем
Пример. Определим, за какой срок (в годах) сумма, равная 75 млн руб., достигнет 200 млн при начислении процентов по сложной ставке 15% раз в год и поквартально:
Величина процентной ставки при наращении по сложным процентам будет определяться по уравнениям
Пример. Вексель куплен за 100 тыс. руб., выкупная сумма - 300 тыс. руб., срок 2,5 года. Определить уровень доходности. Получаем
Пример. Определим число лет, необходимых для увеличения первоначального капитала в 5 раз, применяя простые и сложные проценты по ставке 15% годовых: для простых процентов получаем
Еще по теме 4.3. Наращенная сумма:
- Раздел 1 "Сумма налога (сумма авансового платежа по налогу), подлежащая уплате в бюджет по данным налогоплательщика"
Рент постнумерандо
Напомним, что рентой постнумерандо называется такой поток платежей, в котором равные по размеру взносы вносятся в конце календарного года с заданным процентом (как правило, годовым). Под наращенной суммой такой ренты понимается сумма всех ее членов (вкладов, выплат и пр.) с начисленными на них процентами на конец ее срока.
ГОДОВАЯ РЕНТА
1. Начисление процентов один раз в год.
Пусть в конце каждого года в течение n лет в банк вносятся суммы равные R . В целом эти платежи представляют собой постоянную обычную ренту постнумерандо (для графической интерпретации можно воспользоваться рис. 9, приняв период ренты равный одному году, а R 1 = R 2 =...= R n – 1 = R n ).
Члены этой ренты будут приносить проценты в течение n – 1; n – 2; ...; 2; 1 и 0 лет соответственно, а наращенная величина членов ренты к концу срока составит: R (1 + i ) n – 1 ; R (1 + i ) n – 2 ,..., R (1 + i ); R .
Если переписать этот ряд в обратном порядке, то он будет представлять собой геометрическую прогрессию, сумма членов которой равна
Множитель, на который умножается R обозначается как s n,i , причем индекс указывает на продолжительность ренты – n и величину процентной ставки – i . Этот множитель называется коэффициентом наращения ренты и представляет собой наращенную сумму ренты, член которой равен 1.
Таким образом
S = R·s n , i . (69)
Формула (67) может применяться и для расчета наращенной суммы ренты постнумерандо с периодом, отличающимся от года. В этом случае вместо n подставляется число периодов, а вместо i –ставка за период.
2. Начисление процентов m раз в год.
Здесь члены ренты с начисленными к концу срока процентами образуют ряд (сразу перепишем его в обратном порядке)
R , R (1 + j /m ) m , R (1 + j /m ) 2·m , … , R (1 + j /m ) (n – 1)n ,
где j – номинальная ставка процента.
Сумма членов этой геометрической прогрессии равна
Пример 46.
В конце каждого года клиент может вложить в банк 1 млн. руб. Какая сумма будет на счете через 3 года? i = 4%
Графическая иллюстрация
наращение S = ?
p - СРОЧНАЯ РЕНТА
1. Начисление процентов один раз в год (m = 1).
Пусть рента выплачивается p раз в году равными суммами, процент же начисляется один раз в год. Если годовая сумма платежей равна R , то каждый раз выплачивается R/p . Общее число членов ренты равно n·p . Ряд членов этой ренты с начисленными процентами представляет геометрическую прогрессию с первым членом R/p и знаменателем – (1 + i ) 1/p .Сумма членов этой прогрессии
2. Начисление процентов (число раз) совпадает с числом выплат в год.
На практике такие случаи встречаются достаточно часто. Здесь p = m , и подставляя в формулу (67) вместоi – j/m , а вместо числа лет – число периодов выплат ренты n·p = n·m , и учитывая, что член ренты равен R/p = R/m получим:
3. Общий случай.
Здесь мы имеем p выплат в год, на которые проценты начисляются m раз (p ¹ m ). Общее количество членов ренты равно n·p , величина члена ренты – R/p . Члены ренты с начисленными на них процентами образуют геометрическую прогрессию с первым членом R/p и знаменателем (1 + j/m ) m/p . Сумма членов такой прогрессии (или, в нашем случае, наращенная сумма)
Пример 47.
Клиент в течение 5 лет в конце каждого квартала перечисляет в банк по 200 руб. Какая сумма будет на счету в конце срока, если проценты начисляются: а) ежеквартально; б) по полугодиям. Процентная ставка – 6%.
При начислении процентов по полугодиям получим:
Следовательно, при изменении хотя бы одного из дополнительных условий финансовой ренты изменяется размер наращенной суммы.
Будущую стоимость обычной ренты с разными условиями платежа обозначим S (p , m) , т.е., например, годовая рента с начислением процентов в конце года будет записана S (1,1) , а годовая рента с начислением процентов m раз в году будет обозначена S (1, m) и т.д.
Сравним будущие стоимости обычных рент для одних и тех же размеров выплат и срока ренты, но с различными условиями платежа.
Пусть n = 5, R = 1, i = 0,08 (сложная процентная ставка):
а) для случая p = 1, m = 1:
Б) если p = 1, m = 2, то величина наращенной суммы будет равна
в) при p = 2, m = 1, т.е. полугодовая рента с начислением процентов в конце года приведет к следующей величине наращенной суммы:
г) при равенстве p и m, т.е., например, при p = 2, m = 2:
д) если p = 2, m = 4, т.е. при полугодовой ренте с ежеквартальным начислением процентов, получим следующую наращенную сумму:
е) для p = 4, m = 2:
С помощью приведенных неравенств можно заранее сравнить конечные результаты наращения потоков платежей, не прибегая к точным вычислениям. Покажем это на следующем примере: арендодатель предлагает арендатору ежемесячно (в конце месяца) переводить арендную плату в банк, где проценты будут начисляться ежеквартально (в конце квартала).
Арендатор же предлагает воспользоваться услугами другого банка, где проценты начисляются ежемесячно, но при этом предлагает вносить арендную плату ежеквартально (в конце каждого квартала).
Какой вариант платежей более выгоден арендодателю, если в течении года деньги будут оставаться на счете?
Воспользуемся приведенным неравенством для сопоставления наращенных сумм.
В первом варианте p = 12, m = 4, т.е. p>m>1.
Во втором варианте p = 4, m = 12, т.е. m>p>1.
Согласно приведенному выше неравенству наращенная сумма по варианту, предложенному арендатором, будет меньше, S 2
Приведем расчет наращенной суммы за год (n=1), приняв во внимание, что годовая арендная плата в том и другом вариантах равна R.
Тогда, воспользовавшись формулой (73), получим:
Во втором варианте наращенная сумма будет равна:
Таким образом, S 2
Точный расчет позволяет не только ответить на вопрос, какой вариант предпочтительнее для арендодателя, но и какова сумма дополнительной выгоды. В данном примере разница S 1 и S 2 составит 0,01568R или 1,568% годовой арендной платы.
Приведенные выше соотношения наращенных сумм при различных сочетаниях условий платежа и начисления процентов справедливы, когда процентная ставка не превышает 50%.
В табл. 8 представлены значения наращенной суммы для разных значений процентных ставок при следующих условиях: а) рента годовая (p=1), проценты начисляются по полугодиям (m=2), выплаты производятся на протяжении пяти лет (n=5) и R = 1; б) рента полугодовая (p=2), проценты начисляются 1 раз в год (m=1).
Таблица 8
Расчет наращенной суммы при различных сочетаниях m и p.
| Величина процентной ставки i, % | Наращенная сумма годовой ренты (p=1) при m=2 | Наращенная сумма полугодовой ренты (p=2) при m=1 |
| 6,1356 | 6,2541 | |
| 7,5893 | 7,7967 | |
| 9,4436 | 9,6769 | |
| 11,7994 | 11,9483 | |
| 14,7791 | 14,6694 | |
| 18,5302 | 17,9037 | |
| 23,2299 | 21,7196 | |
| 29,0890 | 26,1908 | |
| 36,3580 | 31,3963 | |
| 45,3320 | 37,4203 |
Соотношение 
